Soal Tantangan! Kapasitor Bola Gabungan

Soal Tantangan

Sebuah bola konduktor dengan jari-jari 3,0 m bermuatan 5,0 µC dan sebuah bola konduktor lain dengan jari-jari 1,2 m bermuatan 4,0 µC saling dihubungkan dengan menggunakan kawat halus yang kapasitasnya dapat diabaikan. Tentukan :
A. Kapasitas masing-masing bola
B. Potensial bola konduktor sekarang
C. Besar muatan yang berpindah
D. Usaha yang diperlukan untuk pemindahan muatan itu

Diketahui :
\(R_1 = 3,0 \ m\)
\(q_1 = 5,0 \ \mu C = 5 \times 10^{-6} \ C\)
\(R_2 = 1,2 \ m\)
\(q_2 = 4,0 \ \mu C = 4 \times 10^{-6} \ C\)

Ditanya :
A. \(C_1\) dan \(C_2\) = ...?
B. \(V_{gab}\) = ...?
C. \(Q\) yang berpindah = ....?
D. \(W\) = ...?

Jawab :
Soal A
\begin{aligned} C_1 &= \frac{R_1}{k} \\ &= \frac{3}{9 \times 10^9} \\ &= 3,333 \times 10^{-10} \ F \\ \\ C_2 &= \frac{R_2}{k} \\ &= \frac{1,2}{9\times10^9} \\ &= 1,333 \times 10^{-10} \ F \end{aligned}

Soal B
\begin{aligned} V_1 &= \frac{k \cdot q_1}{R_1} \\ &= \frac{(9 \times 10^9) \cdot (5 \times 10^{-6})}{3} \\ &= \frac{45.000}{3} \\ &= 15.000 \ volt \\ \\  V_2 &= \frac{k \cdot q_2}{R_2} \\ &= \frac{(9 \times 10^9) \cdot (4 \times 10^{-6})}{1,2} \\ &= \frac{36.000}{1,2} \\ &= 30.000 \ volt \\ \\  V_{gab} &= \frac{q_1+q_2}{C_1+C_2} \\ &= \frac{(5 \times 10^{-6})+(4 \times 10^{-6})}{(3,333 \times 10^{-10})+(1,333 \times 10^{-10})} \\ &= \frac{9 \times 10^{-6}}{4,666 \times 10^{-10}} \\ &= 19.288,5 \ volt \end{aligned}

Soal C
Potensial \(V_2\) lebih besar dari potensial \(V_1\), sehingga muatan listrik akan berpindah dari bola 2 ke bola 1
potensial gabungan \(V_{gab}\) sama, sehingga :
\begin{aligned} V &= \frac{k \cdot {q_1}'}{R_1} = \frac{k \cdot {q_2}'}{R_2}, sehingga  \\ \frac{{q_1}'}{{q_2}'} &= \frac{R_1}{R_2} = \frac{3}{1,2} = \frac{5}{2} \\  \end{aligned}

Muatan total setelah digabung = muatan total sebelum digabung
\begin{aligned} {q_1}'+ {q_2}' &= q_1+q_2 \\ q'_{gab} &= (5 \times 10^{-6})+(4 \times 10^{-6}) \\ &= 9 \times 10^{-6} \ C \end{aligned}

Menghitung besar muatan 1 dan muatan 2 setelah digabung
\({q_1}': {q_2}' = 5 : 2\), sehingga
\begin{aligned} {q_1}' &= \frac{5}{7} \cdot (9 \times 10^{-6}) \\ &= 6,428 \times 10^{-6} \ C \\ \\ {q_2}' &= \frac{2}{7} \cdot (9 \times 10^{-6}) \\ &= 2,571 \times 10^{-6} \ C \end{aligned}

Muatan yang berpindah adalah muatan kedua (karena potensial 2 lebih besar). Besar muatan yang berpindah adalah selisish muatan bola 2 sebelum dan sesudah dihubungkan.
\begin{aligned} \Delta q &= q_2 - {q_2}' \\ &= (4 \times 10^{-6}) - (2,571 \times 10^{-6}) \\ &= 1,428 \times 10^{-6} \ C  \end{aligned}

Soal D
Usaha yang diperlukan untuk pemindahan muatan adalah selisih energi potensial bola konduktor sebelum dan sesudah dihubungkan.
Energi potensial sebelum dihubungkan :
\begin{aligned} Ep &= \left(\frac{1}{2} \cdot q_1 \cdot V_1 \right) + \left(\frac{1}{2} \cdot q_2 \cdot V_2 \right) \\ &= \left(\frac{1}{2} \cdot (5 \times 10^{-6}) \cdot (15.000) \right) + \left(\frac{1}{2} \cdot (4 \times 10^{-6}) \cdot (30.000) \right) \\ &= 0,0375 + 0,06 \\ &= 0,0975 \ Joule   \end{aligned}

Energi potensial sebelum dihubungkan :
\begin{aligned} Ep' &= \frac{1}{2} \cdot  q_{gab} \cdot V_{gab} \\ &= \frac{1}{2} \cdot (9 \times 10^{-6}) \cdot (19.288,5) \\ &= 0,0868 \ Joule \end{aligned}

Usaha yang diperlukan adalah
\begin{aligned} \Delta Ep &= Ep - Ep' \\ &= 0,0975 - 0,0868 \\ &= 0,0107 \ Joule \\ \end{aligned}