Pembahasan Soal Gelombang Berjalan Modul KD 3.9

Pembahasan Soal Gelombang Berjalan Modul KD 3.9

Soal Nomor 1

Suatu gelombang stasioner ujung bebas mempunyai persamaan $y = 1,5 \ cos \ 5 \pi x \ sin \ 15 \pi t$, dengan y dan x dalam meter dan t dalam sekon. Amplitudo gelombang datang dan cepat rambat gelombang stasioner tersebut adalah...
A. 0,25 m dan 2 m/s
B. 0,25 m dan 4 m/s
C. 0,50 m dan 6 m/s
D. 0,75 m dan 4 m/s
E. 0,75 m dan 3 m/s

Diketahui :
$y = 1,5 \ cos \ 5 \pi x \ sin \ 15 \pi t$

Ditanya :
$A$ dan $v$ = ...?

Jawab : E
Persamaan umum gelombang stasioner ujung bebas :
$y = 2A \ cos \ kx \ sin \ \omega t$
sehingga,
$k = 5 \pi \ m^{-1}$
$\omega = 15 \pi \ rad/s$
Jadi,  
$$\begin{aligned} 2A &= 1,5 \ m \\ A &= \frac{1,5 \ m}{2} \\ &= 0,75 \ m \\ \\ v &= \frac{\omega}{k} \\ &= \frac{15 \pi}{5 \pi}\\ &= 3 \ m/s \end{aligned}$$

Soal Nomor 2

Dua buah gelombang memiliki amplitudo sama tetapi arah berlawanan, kemudian kedua gelombang tersebut berinterferensi membentuk gelombang stasioner dengan persamaan $y = 2 \ sin \ 6 \pi x \ cos \ 2 \pi t$, y dan x dalam meter dan t dalam sekon. Jika $x = \frac{1}{12}$ dan $t = \frac{1}{6} \ s$, simpangan gelombang stasioner gelombang tersebut adalah....
A. 1 m
B. 2 m
c. 3 m
D. 4 m
E. 5 m

Diketahui :
$y = 2 \ sin \ 6 \pi x \ cos \ 2 \pi t$
$x = \frac{1}{12}$
$t = \frac{1}{6} \ s$

Ditanya :
$y$ = ...?

Jawab : A $$\begin{aligned} y &= 2 \ sin \ 6 \pi x \ cos \ 2 \pi t \\  &= 2 \ sin \ (6 \pi \cdot \frac{1}{12}) \ cos \ (2 \pi \cdot \frac{1}{6}) \\  &= 2 \ sin \ \left(\frac{1}{2} \pi \right) \ cos \ \left(\frac{1}{3} \pi \right) \\  &= 2 \ sin 90^{\circ} \ cos \ 60^{\circ} \\ &= 2 \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} \\  &= 1 \ m \end{aligned}$$

Soal Nomor 3

Salah satu ujung seutas tali yang panjangnya 100 cm digetarkan harmonik naik turun, sedang ujung lainnya bebas naik turum. Letak perut ke 4 dari ujung bebas adalah 20 cm, letak simpul ke lima diukur dari titik asal getarnya adalah...
A. 52,25 cm
B. 54,25 cm
C. 62,25 cm
D. 66,25 cm
E. 70,00 cm

Diketahui :
$\ell$ = 100 cm
ujung bebas
$X_{p4}$ = 20 cm dari ujung bebas

Ditanya :
$X_{s5}$ dari titik asal getar = ...?

Jawab : E
Menghitung panjang gelombang
$$\begin{aligned} X_{p4} &= (n-1) \frac{1}{2} \lambda \\ 20 &= (4-1) \frac{1}{2} \lambda \\ 20 &= \frac{3}{2} \lambda \\ \lambda &= \frac{20}{\frac{3}{2}} \\ &= 20 \cdot \frac{2}{3} \\ &= \frac{40}{3} \ cm \\ \end{aligned}$$

Menghitung letak simpul ke lima dari ujung bebas
$$\begin{aligned} X_{s5} &= (2n-1) \frac{1}{4} \lambda \\ &= (2 \cdot 5 -1) \frac{1}{4} \cdot \frac{40}{3} \\ &= \frac{9}{4} \cdot \frac{40}{3} \\ &= 30 \ cm \end{aligned}$$

Jadi, jarak simpul ke lima dari titik asal getar adalah :
$X_{s5} = 100 \ cm - 30 \ cm = 70 \ cm$ dari titik asal getar.

Soal Nomor 4

Dua gelombang sinus bergerak dalam arah berlawanan. Kedua gelombang tersebut berinterferensi menghasilkan gelombang stasioner yang memiliki persamaan $y = 2,5 \ sin \ (0,8 \pi x) \ cos \ (100 \pi t)$, dengan y dan x dalam meter dan t dalam sekon. Jarak dua simpul terdekat pada gelombang tersebut adalah...
A. 5,25 m
B. 4,25 m
C. 3,25 m
D. 2,25 m

E. 1,25 m

Diketahui :
$y = 2,5 \ sin \ (0,8 \pi x) \ cos \ (100 \pi t)$
$k = 0,8 \pi$
$\omega = 100 \pi$
ujung terikat

Ditanya :
Jarak dua simpul terdekat = ...?

Jawab : E
Menghitung panjang gelombang
$$\begin{aligned} \lambda &= \frac{2 \pi}{k} \\ &= \frac{2 \pi}{0,8 \pi} \\ &= 2,5 \ m \end{aligned}$$

Jarak simpul ke 1
$$\begin{aligned} x_{s1} &= (n-1) \frac{1}{2} \lambda \\ &= (1-1) \frac{1}{2} \lambda \\ &= 0 \ (tepat \ pada \ ujung \ terikat) \end{aligned}$$

Jarak simpul ke 2
$$\begin{aligned} x_{s2} &= (n-1) \frac{1}{2} \lambda \\ &= (2-1) \frac{1}{2} \lambda \\ &= \frac{1}{2} \cdot 2,5 \\ &= 1,25 \ m \end{aligned}$$

jadi, jarak dua simpul berdekatan adalah $X_{s2} - x_{s1} = 1,25 - 0 = 1,25 \ m$.