Uji Prestasi Mandiri 1.7 Titik Berat Benda

Latihan Soal dan Pembahasan Titik Berat Benda

Soal Nomor 1

Tentukanlah letak titik berat dari bangun-bangun yang diarsir di bawah ini!

Diketahui :

Jawaban 1a
$$\begin{aligned} x_1 &= \frac{1}{2} \cdot 12 \\ &= 6 \\ \\ y_1 &= \frac{1}{2} \cdot 10 \\ &= 5 \\ \\ A_1 &= p \times \ell \\ &= 12 \times 10 \\ &= 120 \\ \\ x_2 &= \left(\frac{1}{2} \cdot (10-6) \right) + 6 \\ &= \left(\frac{1}{2} \cdot 4 \right) + 6 \\ &= 2 + 6 \\ &= 8 \\ \\ y_2 &= \left(\frac{1}{2} \cdot (6-2) \right) + 2 \\ &= \left(\frac{1}{2} \cdot 4 \right) + 2 \\ &= 2 + 2 \\ &= 4 \\ \\ A_2 &= p \times \ell \\ &= (10-6) \times (6-2) \\ &= 4 \times 4 \\ &= 16 \\ \end{aligned}$$

Letak titik berat bangun yang diarsir :
$$\begin{aligned} x_0 &= \frac{(x_1 \cdot A_1) - (x_2 \cdot A_2)}{A_1 - A_2} \\ &= \frac{(6 \cdot 120) - (8 \cdot 16)}{120 - 16} \\ &= \frac{720 - 128}{120 - 16} \\ &= \frac{592}{104} \\ &= 5,69 \\ \\ y_0 &= \frac{(y_1 \cdot A_1) - (y_2 \cdot A_2)}{A_1 - A_2} \\ &= \frac{(5 \cdot 120) - (4 \cdot 16)}{120 - 16} \\ &= \frac{600 - 64}{120-16}\\ &= \frac{536}{104}\\ &= 5,15\\ \end{aligned}$$
jadi, letak titik beratnya beada pada koordinat (5,69 ; 5,15).

Jawaban 1b
$$\begin{aligned} x_1 &= \frac{1}{2} \cdot 20 \\ &= 10 \\ \\ y_1 &= \frac{1}{2} \cdot 32 \\ &= 16 \\ \\ A_1 &= p \times \ell \\ &= 20 \times 32 \\ &= 640 \\ \\ x_2 &= \left(\frac{1}{2} \cdot (18-4) \right) + 4 \\ &= \left(\frac{1}{2} \cdot 14 \right) + 4 \\ &= 7 + 4 \\ &= 11 \\ \\ y_2 &=  \left(\frac{1}{2} \cdot (26-12) \right) + 12 \\ &= \left(\frac{1}{2} \cdot 14 \right) + 12 \\ &= 7 + 12 \\ &= 19 \\ \\ A_2 &= \pi \cdot r^2 \\ &= \frac{22}{7} \cdot 7 \cdot 7 \\ &= 22 \cdot 7 \\ &= 154 \\ \end{aligned}$$

Letak titik berat bangun yang diarsir :
$$\begin{aligned} x_0 &= \frac{(x_1 \cdot A_1) - (x_2 \cdot A_2)}{A_1 - A_2} \\ &= \frac{(10 \cdot 640) - (11 \cdot 154)}{640 - 154} \\ &= \frac{6400 - 1694}{640 - 154} \\ &= \frac{4706}{486} \\ &= 9,68 \\ \\ y_0 &= \frac{(y_1 \cdot A_1) - (y_2 \cdot A_2)}{A_1 - A_2} \\ &= \frac{(16 \cdot 640) - (19 \cdot 154)}{640 - 154} \\ &= \frac{10240 - 2926}{486}\\ &= \frac{7314}{486}\\ &= 15,05 \\ \end{aligned}$$
jadi, letak titik beratnya beada pada koordinat (9,68 ; 15,05).

Soal Nomor 2

Perhatian bangun yang diarsir di bawah ini!

Tentukanlah koordinat titik berat bangun di atas dengan memandang bangun di atas sebagai :
a. Gabungan dua buah persegi panjang
b. Selisih dua buah persegi panjang

Jawaban Soal 2a

$$\begin{aligned} x_1 &= \frac{1}{2} \cdot 12 \\ &= 6 \\ \\ y_1 &= \frac{1}{2} \cdot 4 \\ &= 2 \\ \\ A_1 &= p \times \ell \\ &= 12 \times 4 \\ &= 48 \\ \\ x_2 &= \frac{1}{2} \cdot 8  \\ &= 4 \\ \\ y_2 &= \left(\frac{1}{2} \cdot (10-4) \right) + 4 \\ &= \left(\frac{1}{2} \cdot 6 \right) + 4 \\ &= 3 + 4 \\ &= 7 \\ \\ A_2 &= p \times \ell \\ &= 8 \times (10-4) \\ &= 8 \times 6 \\ &= 48 \end{aligned}$$

Letak titik berat bangun yang diarsir :
$$\begin{aligned} x_0 &= \frac{(x_1 \cdot A_1) + (x_2 \cdot A_2)}{A_1 + A_2} \\ &= \frac{(6 \cdot 48) + ( 4\cdot 48)}{48 + 48} \\ &= \frac{288 + 192 }{96} \\ &= \frac{480}{96} \\ &=  5\\ \\ y_0 &= \frac{(y_1 \cdot A_1) + (y_2 \cdot A_2)}{A_1 + A_2} \\ &= \frac{(2 \cdot 48) + (7 \cdot 48)}{48+48} \\ &= \frac{96 + 336}{96}\\ &= \frac{432}{96}\\ &= 4,5 \\ \end{aligned}$$

jadi, letak titik berat benda pada koordinat (5 ; 4,5).


Jawaban soal 2b

$$\begin{aligned} x_1 &= \frac{1}{2} \cdot 12 \\ &= 6 \\ \\ y_1 &= \frac{1}{2} \cdot 10 \\ &= 5 \\ \\ A_1 &= p \times \ell \\ &= 12 \times 10 \\ &= 120 \\ \\ x_2 &= \left(\frac{1}{2} \cdot (12-8) \right) + 8 \\ &= \left(\frac{1}{2} \cdot 4 \right) + 8 \\ &= 2 + 8 \\ &=10\\ \\ y_2 &= \left(\frac{1}{2} \cdot (10-4) \right) + 4 \\ &= \left(\frac{1}{2} \cdot 6 \right) + 4 \\ &= 3 + 4 \\ &= 7 \\ \\ A_2 &= p \times \ell \\ &= (12-8) \times (10-4) \\ &= 4 \times 6 \\ &= 24 \end{aligned}$$

Letak titik berat bangun yang diarsir :
$$\begin{aligned} x_0 &= \frac{(x_1 \cdot A_1) - (x_2 \cdot A_2)}{A_1 - A_2} \\ &= \frac{(6 \cdot 120) - ( 10\cdot 24)}{120 - 24} \\ &= \frac{720 + 240 }{96} \\ &= \frac{480}{96} \\ &=  5\\ \\ y_0 &= \frac{(y_1 \cdot A_1) - (y_2 \cdot A_2)}{A_1 - A_2} \\ &= \frac{(5 \cdot 120) - (7 \cdot 24)}{120-24} \\ &= \frac{600 168}{96}\\ &= \frac{432}{96}\\ &= 4,5 \\ \end{aligned}$$

jadi, letak titik berat benda pada koordinat (5 ; 4,5).

Soal Nomor 3

Tentukanlah titik berat bangun di bawah ini!

Diketahui :

Ditanya :
Koordinat titik berat bangun

Jawab :
$$\begin{aligned} x_1 &= \frac{1}{2} \cdot 28 \\ &= 14 \\ \\ y_1 &= \frac{4R}{3 \pi} \\ &= \frac{4 \cdot 14}{3 \cdot 3,14} \\ &= 5,945 \\ \\ A_1 &= \frac{1}{2} \cdot \pi \cdot r^2 \\ &= \frac{1}{2} \cdot \frac{22}{7} \cdot 14 \cdot 14\\ &= 308 \\ \\ x_2 &= \left(\frac{1}{2} \cdot 14 \right) + 14 \\ &= 7 + 14 \\ &= 21 \\ \\ y_2 &= \frac{4R}{3 \pi} \\ &= \frac{4 \cdot 7}{3 \cdot 3,14} \\ &= 2,972\\ \\ A_2 &= \frac{1}{2} \cdot \pi \cdot r^2 \\ &= \frac{1}{2} \cdot \frac{22}{7} \cdot 7 \cdot 7\\ &= 77 \\ \\ x_3 &= \frac{1}{2} \cdot 14 \\ &= 7 \\ \\ y_3 &= \frac{4R}{3 \pi} \\ &= \frac{4 \cdot (-7)}{3 \cdot 3,14} \\ &= -2,972\\ \\ A_3 &= \frac{1}{2} \cdot \pi \cdot r^2 \\ &= \frac{1}{2} \cdot \frac{22}{7} \cdot 7 \cdot 7\\ &= 77 \\ \end{aligned}$$

Letak titik koordinat bangun tersebut :
$$\begin{aligned} x_0 &= \frac{(x_1 \cdot A_1) - (x_2 \cdot A_2) + (x_3 \cdot A_3)}{A_1 - A_2 + A_3} \\ &= \frac{(14 \cdot 308) - (21 \cdot 77) + (7 \cdot 77)}{308 - 77 + 77} \\ &= \frac{4312-1617+539}{308} \\ &= \frac{3234}{308}\\ &= 10,5\\ \\ y_0 &= \frac{(y_1 \cdot A_1) - (y_2 \cdot A_2) + (y_3 \cdot A_3)}{A_1 - A_2 + A_3} \\ &= \frac{(5,945 \cdot 308) - (2,972 \cdot 77) + ((-2,972) \cdot 77)}{308 - 77 + 77} \\ &= \frac{1831,06 - 228,844 -228,844}{308} \\ &= \frac{1355,372}{308}\\ &= 4,4\\ \end{aligned}$$

Jadi letak titik koordinat titik berat bangun di atas adalah (10,5 ; 4,4).

Baca Juga :

Soal Latihan 1.13 s.d 1.14
Uji Prestasi Mandiri 1.5
Soal Latihan 1.15 s.d 1.18
Uji Prestasi Mandiri 1.6
Soal Latihan 1.19 s.d 1.21
Uji Prestasi Mandiri 1.7

PETUNJUK PENGERJAAN SOAL

Soal Nomor 1

• Pada soal nomor 1 ada dua bangun datar yang dipadukan. Gambar yang putih menunjukkan bahwa bangun itu berlubang, sehingga dalam pengerjaan menghitung titik berat, maka menggunakan luasan selisih di antara keduanya.
• Pada bangun persegi, persegi panjang, dan lingkaran, letak titik berat berada tepat di tengah-tengah bangunnya.
• Bangun datar yang todak menempel pada sumbu utama x dan y, maka koordinat titik beratnya ditambahkan dengan jarak antara bangun tersebut dengan sumbu utamanya.
• Jadi langkah pertama mencari titik koordinat pada masing-masing bangun. Bangun persegi yang besar dan bangun yang bolongnya dicari sendiri sendiri. Baik luasannya maupun koordinat titik beratnya.
• Setelah itu barulah mencari koordinat titik beratnya pada sistem.   

Soal Nomor 2

• Menghitung letak titik berat pada sebuah bangun, dapat menggunakan dua cara yaitu menggunakan gabungan dua buah bangun datar dan mengguakan selisih dua buah bangun datar.
• Hasil dari kedua cara tersebut memiliki hasil yang selalu sama.
• Langkah pertamanya, mencari masing-masing koordinat titik beratnya dan luasan pada masing-masing bangun datar.
• Pada bangun datar segi empat, letak titik koordinatnya berada pada diagonalnya ke sumbu utama x dan y.
• Jika menggunakan metode gabungan dua buah benda, maka luasannya ditambahkan. Namun jika menggunakan metode selisih dua benda maka luasannya dikurangi.

Soal Nomor 3

• Letak titik berat pada bangun setengah lingkaran, pada sumbu x berada tepat ditengah-tengah diameternya. Namun untuk letak titik berat pada sumbu y nya, ada pesamaan tersendiri, yaitu $y = \frac{4 \cdot R}{3 \ \pi}$.
• Bangun yang diarsir, maka luasannya ditambahkan, sedangkan bangun yang bolong, maka luasannya dikurangi.
• Langkah pertama, encari letak titik koordinat pada masing-masing bangun setengah lingkaran.
• Setelah itu juga dicari besar luasan pada masing-masing bangun datar tersebut, baik yang diarsir maupun yang bolong.
• Pada bangun yang terletak dibawah sumbu x, maka nilai koordinat y nya bernilai negatif.
• Luas setengah lingkaran dapat dihitung dengan menggunakan persamaan $A = \frac{1}{2} \cdot \pi \cdot r^2$