Uji Prestasi Mandiri 1.3 Momen Inersia Benda Tegar

MOMEN INERSIA BENDA TEGAR

Soal Nomor 1

Sebuah katrol berbentuk silinder pejal homogen bermassa 2 kg ditarik oleh gaya F seperti pada gambar di bawah.

Tentukanlah :
a. Momen gaya yang dikerjakan F pada katrol
b. Momen inersia katrol
c. Percepatan sudut katrol

Diketahui :
\(k = \frac{1}{2}\)
\(m_K = 2 \ kg\)
\(r = 20 \ cm \ = 0,2 \ m\)
\(F = 10 \ N\)

Ditanya :
a. \(\tau\) = ...?
b. \(I\) = ...?
c. \(\alpha\) = ..?

Jawab :
Jawaban 1a
\begin{aligned}
\tau &= F \cdot r \\
&=10 \cdot 0,2\\
&= 2 \ Nm
\end{aligned}

Jawaban 1b
\begin{aligned}
I &= k \cdot m\ cdot r^2 \\
&= \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot (0,2)^2 \\
&=0,04 \ kg \ m^2 \\
\end{aligned}

Jawaban 1c
\begin{aligned} \tau &= I \cdot \alpha \\ \alpha &= \frac{\tau}{I} \\ &= \frac{2}{0,04} \\ &= 50 \ rad/s^2 \end{aligned}

Soal Nomor 2

Sebuah katrol berbentuk silinder pejal homogen bermassa 2 kg dihubungkan dengan sebuah beban bermassa 4 kg seperti pada gambar di bawah.

Jika jari-jari katrol 50 cm, tentukanlah :
a. Momen inersia katrol
b. Momen gaya yang bekerja pada katrol
c. Percepatan sudut katrol

Diketahui :
\(k = \frac{1}{2}\)
\(m_K\) = M = 2 kg
\(m_B\) = m = 4 kg
\(r\) = 50 cm = 0,5 m

Ditanya :
a. \(I\) = ...?
b. \(\tau\) = ...?
c. \(\alpha\) = ...?

Jawab :
Jawaban 2a
\begin{aligned}
I &= k \cdot M \cdot r^2 \\
&= \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot (0,5)^2 \\
&=0,25 \ kg \ m^2 \\
\end{aligned}

Jawaban 2b
Tinjau beban (gerak translasi)

\begin{aligned}
\Sigma F &= m \cdot a \\
w - T &= m \cdot a \\
(m \cdot g) - T &= m \cdot a \\
(4 \cdot 10) - T &= 4 \cdot a \\
40 - T &= 4a\\
T &= 40 - 4a \\
\end{aligned}

Tinjau katrol (gerak rotasi)

\begin{aligned}
\Sigma \tau &= I \cdot \alpha \\
T \cdot r &= I \cdot \frac{a}{r} \\
(40-4a) \cdot 0,5 &= 0,25 \cdot \frac{a}{0,5} \\
(40-4a) &=a \\
5a &= 40 \\
a &= \frac{40}{5} \\
&= 8 \ m/s^2
\end{aligned}

Besar momen gaya pada katrol :
\begin{aligned}
\tau &= I \cdot \alpha \\
&= I \cdot \frac{a}{r} \\
&= 0,25 \cdot {8}{0,5} \\
&= 4 \ Nm
\end{aligned}

Jawaban 2c
\begin{aligned}
\alpha &= \frac{a}{r} \\
&= \frac{8}{0,5} \\
&= 16 \ rad/s^2
\end{aligned}

Soal Nomor 3

Pada sistem katrol berikut, diketahui massa katrol 2 kg dan jari-jarinya 10 cm. Jika M = 3 kg dan m = 1 kg, maka tentukan percepatan linier sistem tegangan tali dan percepatan sudut katrolnya.

Diketahui :
\(k = \frac{1}{2}\)
\(m_K\) = 2 kg
r = 10 cm = 0,1 m
M = 3 kg
m = 1 kg

Ditanya :
a. \(a\) = ...?
b. Tegangan tali = ...?
c. \(\alpha\) = ...?

Jawab :
Jawaban Soal 3a
Tinjau beban m (gerak translasi)

\begin{aligned}
\Sigma F &= m \cdot a \\
T_1 - w_1 &= m \cdot a \\
T_1 - (m \cdot g) &= m \cdot a \\
T_1 - 10 &= 1 \cdot a \\
T_1 &= a + 10
\end{aligned}

Tinjau beban M (gerak translasi)

\begin{aligned} w_2 - T_2 &= M \cdot a \\ (M \cdot g) - T_2 &= M \cdot a \\ 30 - T_2 &= 3 \cdot a \\ T_2 &= 30 - 3a   \end{aligned}

Tinjau katrol (gerak rotasi)

\begin{aligned}
\Sigma \tau &= I \cdot \alpha \\
{\tau}_2 - {\tau}_1 &= I \cdot \frac{a}{r} \\
(T_2 \cdot r) - (T_1 \cdot r) &= k \cdot m_K \cdot r^2 \cdot \frac{a}{r}\\
(T_2 - T_1) r &= k \cdot m_K \cdot r^2 \cdot \frac{a}{r}\\
(T_2 - T_1) &= k \cdot m_K \cdot a \\
(30-3a) -(a+10) &= \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot a \\
30-3a-a-10 &= a \\
5a &= 20 \\
a &= \frac{20}{5} \\
a &= 4 \ m/s^2
\end{aligned}

Jawaban Soal 3b
Tegangan tali \(T_1\)
\begin{aligned}
T_1 &= a + 10 \\
&= 4 +10 \\
&= 14 \ N
\end{aligned}

Tegangan tali \(T_2\)
\begin{aligned}
T_2 &= 30 - 3a \\
&= 30 - (3 \cdot 4) \\
&= 30 - 12 \\
&= 18 \ N
\end{aligned}


Jawaban Soal 3a
\begin{aligned}
\alpha &= \frac{a}{r} \\
&= \frac{4}{0,1} \\
&= 40 \ rad/s^2
\end{aligned}

Baca Juga :

Soal Latihan 1.1 s.d 1.3
Uji Prestasi Mandiri 1.1
Soal Latihan 1.4 s.d 1.6
Uji Prestasi Mandiri 1.2
Soal Latihan 1.7
Uji Prestasi Mandiri 1.3
Soal Latihan 1.8 s.d 1.12
Uji Prestasi Mandiri 1.4

PETUNJUK PENGERJAAN SOAL

• Benda tegar merupakan benda yang tidak mengalami perubahan bentuk maupun volume saat dikenai gaya pada benda tersebut.
• Masing-masing benda tegar memiliki besar konstanta momen inersia yang berbeda-beda.
• Ada tiga macam jenis gerakan pada benda, diantaranya

1. Gerak translasi, yaitu gerak ke atas atau ke bawah, ke kanan atau ke kiri
2. Gerak rotasi, yaitu gerak saat benda berputar dengan sumbu putar tertentu.
3. Gerak menggelinding, yaitu penggabungan antara gerak rotasi dan translasi.

Soal Nomor 1

• Setiap satuan besaran yang akan dihitung, sebaiknya diubah dulu dalam satuan SI. Satuan jari-jari katrol berupa cm diubah ke dalam satuan meter (SI), yaitu membaginya dengan 100 (20 cm = 0,2 m).
• Jika pada soal katrol tidak diberi gantungan beban, maka gerak yang bekerja hanya herak rotasi saja. Tidak perlu meninjau katrol dengan dua gerakan (translasi dan rotasi)
• Momen gaya dapat dihitung dengan mengalikan gaya dan lengannya \((\tau = F \cdot r)\), asalkan kedua besaran ini saling tegak lurus
• Besar konstanta momen inersia untuk silinder pejal adalah \(\frac{1}{2}\), sehingga \(I = \frac{1}{2} \cdot m_K \cdot r^2\).
• Percepatan pada gerak rotasi dinamakan percepatan sudut atau percepatan anguler.
• Besar percepatan sudut (\(\alpha\)) dapat dihitung dengan persamaan : \(\alpha = \frac{a}{r}\).   

 
Soal Nomor 2

• Katrol berbentuk silinder pejal homogen, sehingga memiliki besar momen inersia : \(I = \frac{1}{2} \cdot k \cdot m_K \cdot r^2\).
• Mengubah semua satuan besaran ke dalam satuan internasional. Mengubah satuan jari-jari katrol ke dalam satuan meter.
• Katrol tersebut diberi beban yang tergantung, sehingga perlu menganalisis menjadi dua jenis gerakan. yaitu gerak translasi dan gerak rotasi.
• Gerak translasi berupa beban bergerak ke bawah. Pada gerak ini digunakan persamaan hukum kedua Newton, yaitu \( \Sigma F = m \cdot a\).
• Gerak rotasi berupa gerak katrol yang dapat berputar. Pada gerak rotasi, analisisnya menggunakan persamaan momen gaya yaitu \(\Sigma \tau = I \cdot \alpha\).
• Katrol cenderung berputar searah jarum jam, sehingga besar momen gayanya positif.  
• Besar T yang diperoleh dari persamaan gerak translasi, dimasukkan ke dalam persamaan gerak rotasi (menggunakan metode substitusi) untuk mencari besar percepatan linear (a).
• Hubungan antara percepatan sudut \((\alpha)\) dengan percepatan linier \((a)\) adalah : \( \alpha = \frac{a}{r}\).

 

Soal Nomor 3

• Langkah pertama, jadikan semua besaran ke dalam satuan SI.
• Karena terdapat dua beban, maka dapat dianalisis bahwa benda M bergerak ke bawah dan benda m bergerak keatas (M lebih berat dari pada m)
• Meninjau sistem ini dalam dua jenis gerak, yaitu gerak translasi pada beban dan gerak rotasi pada katrol.
• Pada gerak translasi, masing-masing beban ditinjau sendiri-sendiri. sehingga diperoleh besar \(T_1\) dan \(T_2\).
• Pada benda yang bergerak translasi, berlaku persamaan hukum Newton II, yaitu \(\Sigma F = m \cdot a\). Gaya yang searah dengan arah gerak bertanda positif, sedangkan yang berlawanan dengan arah gerak bertanda negatif.
• Pada gerak rotasi, momen gaya yang terjadi karena \(T_2\) cenderung berputar searah jarum jam, sehingga nilai momen gayanya positif. sedangkan untuk momen gaya yang terjadi karena \(T_1\) cenderung berputar berlawanan arah jarum jam sehingga momen gayanya bernilai negatif.
• Besar \(T_1\) dan \(T_2\) dari gerak translasi disubstitusikan ke dalam persamaan gerak rotasi. dari sini diperoleh besar percepatan liniernya.
• Untuk mencari besar tegangan tali, maka nilai \(a\) dimasukkan dalam persamaan \(T_1\) dan \(T_2\).  
• Menghitung percepatan sudut katrol dapat menggunakan persamaan : \(\alpha = \frac{a}{r}\)